Las primeras mediciones del Teide se realizaron en el s.XVIII, mediante procedimientos trigonométricos. Entre 1771 y 1772, Verdun de la Crenne, Pingré y Borda determinan una cota de 1.744,5 toesas. Para tener en cuenta la refracción atmosférica restaron 2,5 toesas a los cálculos finales, para quedarse con un resultado de 1.742 toesas, equivalentes a 3.395 m. Este cálculo llevaba un error tipográfico en uno de los ángulos medidos, por lo que, a posteriori, se realizó la corrección de los cálculos (1776), que elevó la cota del Teide hasta 1904 toesas, 3.711 m. De Borda, De Varela y Arguedas (1776) miden, también geométricamente, una cota de 1905 toesas, 3.713 m. En aquella ocasión también realizaron la ascensión hasta la cumbre portando con ellos los correspondientes aparatos de medida: Barómetro, termómetro. El cálculo de la altitud a partir de las medidas barométricas, utilizando la fórmula de Deluc, dio 1.929 toesas. Estas mismas medidas barométricas fueron estudiada por Humbolt utilizando la fórmula de Laplace y determinó que la cumbre del volcán tinerfeño se encontraba a 1.976 toesas, 3.851 metros ( el hecho que la fórmula de Deluc diese, aparentemente, mejor resultado que la de Laplace no se debe a la mejor precisión del primero, sino a que uso una constante en el cálculo diferente ).
Hasta tiempos recientes los científicos y los montañeros ha utilizado barómetros para la determinación de la altitud de las montañas. En este sentido destacaron los llamados barómetros aneroides, inventados en 1843 por Lucien Vidie. Los cambios de presión eran detectados por una cápsula o célula aneroide constituida por una aleación de berilio y cobre unida a un muelle conectado a una aguja indicadora.
La medición está afectada por los cambios en las condiciones meteorológicas, especialmente por el cambio en la presión motivada por el avance de anticiclones (altas presiones) y borrascas (bajas presiones). Además la expresión considera una atmósfera isoterma, cuando en realidad existe un gradiente de temperatura con la altitud ( de unos 5-6ºC de descenso por cada 1000 metros ).
El altímetro basado en este dispositivo necesitaba ser calibrado a una altitud de referencia h0 donde se media una presión p0. Al ascender la montaña, la presión disminuye de forma progresiva (exponencialmente), de tal modo que en la cima de cota h, tenemos una nueva presión p. La nueva altitud puede ser determinada por la expresión siguiente:
)
donde la constante vale, aproximadamente, K=18400.
Ejemplo: Supongamos que un barómetro señala p0 = 950 mbar en un punto de altitud conocida h0 = 515 m. Si tras una ascensión el barómetro señala una presión p = 893 mbar, ¿ A qué altitud nos encontramos ahora ?
=1009 m)
Una mejor aproximación se obtiene utilizando otra expresión más compleja que aplica dos correcciones adicionales, una por efecto de la latitud φ y otra por la temperatura:
 \cdot ( 1 + K_{2} \cdot \cos{ 2 \varphi}) \cdot log\left(\frac{p_{0}}{p}\right ))
Los valores de las constantes que hemos determinado son K1 = 18417 m y K2 = 0,00264. Laplace, Ramond de Carboniers o Humbolt utilizaron otros valores, ligeramente distintos, ya que la expresión original tenía un carácter semiempírico. Las constantes se obtuvieron entonces mediante la experimentación. Para el lector interesado ofrecemos una demostración matemática detallada evaluando las dos constantes a partir de consideraciones físicas basadas en la mecánica ( dimensiones y rotación terrestre ) y termodinámica de los gases ideales.
Ejemplo: En la ascensión del Teide de 1776, el diario de Varela recogió las siguientes mediciones:
A nivel del mar, presión: 339 líneas, temperatura: 19,7 ºR ( 24,6 ºC ).
En el pico, presión: 216 líneas, temperatura: 8,5 ºR ( 10,6 ºC ).
Calcular la altitud del Teide, si sabemos que su latitud es φ =28º.
 \cdot ( 1 + 0,00264 \cdot \cos{56}) \cdot log \left(\frac{339}{216}\right ))
Además, como puede deducirse, se puede aplicar una tercera y pequeña corrección debida a la disminución de la fuerza gravitatoria con la altitud, cuyo valor es:
Siendo R=6.371.000 m el radio medio terrestre.
En el caso que nos ocupa vale:
que se suma al resultado anterior, resultando finalmente:
Nota: La escala termométrica Reamur definía el punto de congelación del agua a 0 ºR y el de ebullición a 80ºR. La conversión de grados Reamur a grados Celsius consiste en multiplicar los valores por el factor 5/4.
Bibliografía
Para conocer más sobre los aspectos históricos del Teide:
-
Tous Meliá, Juan. La medida del Teide: Historia, descripciones, erupciones y cartografías. Diciembre, 2015, España. ISBN 978-84-608-2622-4.
Tratado clásico que estudia las ecuaciones barométricas para la medición de montañas:
Para un estudio de la fórmula barométrica con mediciones realizadas durante las exploraciones de los Pirineos puede consultarse:
- Carbonières, L. Ramond. Memoires sur la formule barometrique de la mecanique celeste et les dispositions de l'atmosphere qui en modifient les proprietes. 1811. Clermont-Ferrand.
..................................................
Demostración
En primer lugar nos limitaremos a demostrar la ecuación barométrica sin tener en cuenta las variaciones de temperatura ( atmósfera isoterma ) ni las de la gravedad por efecto de la latitud. Posteriormente iremos estudiando cada una de esas correcciones para llegar a la ecuación de Laplace.
Supongamos un prisma de fluido de base S y altura h. Estamos interesados en conocer la presión que ejerce la columna de ese fluido sobre su base. El volumen de la figura es, simplemente:
Si su densidad ( masa por unidad de volumen ) es ρ, la masa del mismo es:
Y su peso:
La presión ejercida sobre la base del prisma es, entonces, el peso sobre la unidad de superficie de la base:
Esta ecuación recibe el nombre de Teorema fundamental de la hidrostática. Lo siguiente es aplicarlo a la atmósfera, la capa gaseosa que rodea la tierra, con la particularidad que no presenta una densidad constante a lo largo de la columna de fluido; es decir, la densidad depende de la altitud.
Considerando una capa atmosférica de espesor infinitesimal dh, la variación de presión dp será [1]:
Hemos incorporado un signo negativo para señalar que al aumentar la altitud, la presión disminuye.
Si consideramos que el aire que constituye la atmosférica se comporta como un gas ideal, se puede aplicar la ecuación de estado:
donde n=m/M siendo m la masa del gas y M su masa molecular ( en este caso al ser al aire una mezcla constituida fundamentalmente por Nitrógeno (21%) y Oxígeno (79%), será una masa molecular promedio ), R la constante de los gases perfectos y T la temperatura (K). Con ello, se puede despejar la densidad del gas ideal:
y comprobar que es directamente proporcional a la presión e inversamente proporcional a la temperatura. Llamando:
Podemos expresar:
Si la diferencia de altitud es pequeña entre los puntos es pequeño se puede asumir la hipótesis de atmósfera isoterma ( T constante ), de modo que β es una verdadera constante. Posteriormente se estudiará con más detalle el efecto de la temperatura y se intriducirá la correspondiente corrección. Por otro lado, para el aire seco ( carente de humedad ), la masa molecular promedio se puede obtener a partir de la composición media del aire seco: 78,084 % N2 , 20,946% O2 y 0,9340% Ar. Con las masas atómicas: 14,0067, 15,9994 y 39,948 g/mol para el Nitrógeno, Oxígeno y el Argón, respectivamente:
Con R=8,31 J/K·mol y con una temperatura de T= 273,15 K (0ºC), tenemos β = 1,275·10-5 s2/m2.
Susitituyendo en [1]:
Luego:
Integrando entre dos puntos de altitud h0 y h, y presiones p0 y p:
)
Despejando [2]:
)
Usando logaritmos decimales, ln x = log x / log e, se obtiene [3]:
)
Con K = 1/g·β·log e.
)
Con g=9,8061 m/s2 (valor para una latitud de φ = 45º ), β = 1,275·10-5 s2/m2 y log e = 0,4343 se tiene K=18417 m, y:
)
Resaltar que esta expresión se ha calculado para una atmósfera isoterma a 0ºC y la latitud media terrestre φ = 45º. Más adelante se estudian las correciones necesarias para aplicarla en otras condiciones de temperatura y latitudes.
Variación general de la presión con la altitud
Si llamamos p0 a la presión atmosférica a nivel del mar h0 = 0 m, entonces [2] se transforma en:
)
o bien:
)
y despejando:
con la definición de una nueva constante α = β · g, tenemos la variación exponencial de la presión con la altitud h:
La constante α = 1,24·10-4 m-1 , para una atmósfera isoterma ideal a T= 273,15 K.
Ejemplo: ¿ En qué proporción dismimuye la cantidad de oxígeno disponible en el Everest z=8848 m, frente a la disponible a nivel del mar ?
En el Everest, por tanto, la presión atmosférica se reduce 1/3 con respecto al nivel del mar, por lo que la concentración de oxígeno en el aire se reduce en la misma proporción.
Corrección de Latitud
Debido a la rotación de la Tierra, los cuerpos experimentan una fuerza centrífuga que varía según la latitud: es nula en los polos y máxima en el ecuador. Esta fuerza centrífuga hace disminuir el efecto de la atracción gravitatoria, y la desvía de su dirección original hacia el centro de la Tierra. Esto hace el valor de g sea mínimo en los polos, donde la fuerza centrífuga se anula, y máxima en el ecuador. Si g90 es el valor de g en los polos y g0 en el ecuador, el valor de g a una latitud φ es:
donde el segundo término es la componente vertical de la aceleración centríguga, siendo ω la velocidad de rotación terrestre ( 1 vuelta daria = 2π rad / 86400 s = 7,272205·10-5 rad/s ) y R el radio medio terrestre (tomando la tierra esférica) R= 6,371·106 m.
Con ello resulta la ecuación de Clairaut:
)
donde η = ω2·R/g90 = 0,005279.
)
En lugar de trabajar con g90 , que es el valor de la aceleración de la gravedad en los polos, hemos trabajado con el valor de g a la latitud media φ = 45º, g45. Como sin2 45º = 1/2, la expresión anterior nos permite indicar que:
)
De modo que dividiendo entre sí las dos ecuaciones anteriores:
Y con el desarrollo en serie 1/(1+η/2) = 1 - η/2 + ..., deshechando los términos superiores:
 \left ( 1 + \frac{\eta}{2} \right))
Operando y despreciendo los términos de segundo orden en η:
)
Con la relación trigonométrica:
)
Se puede expresar la igualdad anterior:
)
Llevando este resultado a la expresión [3]:
)
El desarrollo en serie de 1/(1-x) = 1 + x + ..., aplicado al término 1/(1-η/2 cos 2φ ), permite, entonces, escribir:
)
 \cdot log\left(\frac{p_{0}}{p}\right))
Llamando K2 = η/2, a la segunda, se tiene la expresión [4]:
 \cdot log \left(\frac{p_{0}}{p}\right))
Donde K =18417 m ( a 0ºC) y K2 = 0,00264. Esta es la expresión que corrige la medición a la latitud de medida.
Corrección de Temperatura
El valor de la constante K:
posee una dependencia de la temperatura que no hemos considerado hasta ahora. Si conocemos K a una temperatuta de 273,15K (ºC) y le llamamos K1 = 18466, el valor de K a otra temperatura T se podrá calcular a través de este pues la relación de proprocionalidad que se deduce de la expresión anterior es inmediata:
En lugar de usar temperaturas absolutas T (K) podemos utilizar temperaturas t en la escala Celsius (ºC) T = t + 273,15:
)
Como, en general, tendremos dos temperatura distintas en el punto de medida y en el de calibración, se considera tomar la media de ambas t= (t0+ t )/2. Con ello:
)
Y esta es la corrección a aplicar sobre [4] y obtener de, este modo [5]:
 \cdot (1+K_{2} \cdot \cos{ 2 \varphi} ) \cdot log \left(\frac{p_{0}}{p}\right))
Es la ecuación útil para la determinación barométrica de altitudes. Los valores de las constantes que hemos determinado son: K1 = 18417 m y K2 = 0,00264.
Nota: Las fórmulas clásicas utilizan una forma alternativa y equivalente de llegar al mismo resultado a partir de la ley de Gay-Lussac (1802) expresada en la forma clásica:
 \right))
donde α es el llamado coeficiente de dilatación cúbica, cuyo valor es α = 1 /273,15 = 0,003661 ºC-1, y que, entonces, fue determinado experimentalmente. El valor que se tomó para las fórmulas barométricas es α = 0,004. Con la temperatura de referencia t0 = 0ºC:
)
Aplicando este expresión a la temperatura media:
)
 \right))
}{1000} \right))
Y se obtiene el factor de corrección de temperatura que aparece en los tratados clásicos:
}{1000})
y que puede verse que es equivalente al que hemos calculado nosotros a partir de la ecuación de estado de los gases ideales.
Corrección de la gravedad
La fuerza con que los cuerpos son atraídos por la tierra depende de la distancia que los separa de su centro según la ley de gravitación universal de Newton:
donde G es la constante de gravitación universal, M la masa de la tierra, R su radio, y m la masa del cuerpo considerado. A nivel del mar, la distancia que separa un cuerpo del centro terrestre ( considerando la tierra como una esfera ) es el radio terrestre. En este caso la fuerza de atracción se expresa:
donde:
Cuando el cuerpo se eleva a una altitud h por encima de la superficie de los mares, la fuerza de atracción disminuye y vale, entonces:
^2})
Como:
^2=R^2+2 \cdot R \cdot h + h^2 = R^2 \left (1+\frac{2h}{R} + \frac{h^2}{R^2} \right))
Despreciando el último sumando por su pequeñez y llevando el resultado a la expresión anterior:
})
})
})
Aplicando el desarrollo en serie 1/(1+x) = 1-x+..., se tiene la relación entre los valores de g a nivel del mar (g0) y a la altitud h:
)
Esta varición de g con la altitud h se puede considerar en la deducción de la ecuáción barométrica y da lugar a un nuevo término correctivo.
Dada la expresión diferencial ya vista:
Y conociendo la varición de g con la altitud h, tenemos:
\beta dh)
Y su integración:
 dh)
Las dos integrales son inmediatas:
 = \left (h - \frac{h^2}{R} \right) - \left (h_{0} - \frac{h_{0}^2}{R} \right))
Con la constante K1 ya conocida:
 = \left (h - h_{0} \right) + \frac{h^2-h_{0}^2}{R})
y queda:
 + \frac{h^2-h_{0}^2}{R})
Incorporando ahora las correcciones de latitud y temperatura [6]:
 \cdot (1 + K_{2} \cdot \cos{2 \varphi}) \cdot log\left(\frac{p_{0}}{p}\right) + \frac{h^2-h_{0}^2}{R})
El nuevo sumando convierte el problema en una ecuación de segundo grado a resolver. Sin embargo, no es necesario, ya que el radio de la tierra R=6.371.000 m es grande en comparación con la magnitud h2-h20 . Se puede operar, por ello, con la ecuación [5] y, a continuación, con el valor de h obtenido calcular:
y sumarlo al resultado obtenido. Si z0 < z, como ocurre en una ascensión la corrección siempre será positiva. Ecuaciones similares a [6] con diferentes valores en las constantes y algunas variaciones adicionales fueron propuestas entre el s.XVIII y XIX por Laplace, Deluc, Poisson o Henry-Laws. Un ejemplo de ellas es la ecuación de Poisson ( "Mechanique", vol II, libro IV, capítulo V, Paris 1811 ).
}{1000} \right) \cdot (1+K_{2} \cdot \cos{ 2 \varphi}) \cdot \left (1 +\frac{h}{R} \right) \cdot log \left(\frac{p_{0}}{p} \cdot \left (1+\frac{h}{R} \right)^2 \right))
Donde K1 = 18366 m y K2 = 0,00287. Al ser h pequeño frente al redio terrestre R, los términos (1+h/R) son aproximadamente iguales a la unidad y el resultado es [5]. Algunos de los valores de K1 que han sido utilizados por distintos autores son:
-
Deluc: K1 = 17970 m.
- Laplace : K1 = 18336 m.
- Ramond de Carbonnières : K1 = 18393 m.
- Rülhmann: K1 = 18429,1 m.
